Een van de hoofddoelstellingen van de gecondenseerde materiefysica is om alle mogelijke fases van de materie te bepalen. Er werd geloofd dat, op enkele beruchte uitzonderingen na, het Landau paradigma van faseovergangen volstond om de verschillende mogelijke fases van de materie te begrijpen die in de natuur bestaan. Naast de normale klassieke faseovergangen, die gebeuren bij een zekere kritische temperatuur, bestaan er faseovergangen tussen verschillende kwantumfases die even aanhouden bij een nultemperatuur. Deze faseovergangen worden veroorzaakt door kwantumfluctuaties in plaats van thermische fluctuaties. Verscheidene van deze kwantumfases en faseovergangen kunnen nog steeds worden begrepen in het Landau kader.

Recent is echter gebleken dat er een heel hoog aantal kwantumfases bestaan die niet kunnen worden onderscheiden door juist lokale ordeparameters. Als we eisen dat bepaalde symmetrieën gerespecteerd worden, zien we dat het fasediagram van de materie ingewikkelder wordt. Inderdaad, onderzoek heeft uitgewezen dat er zogenoemde door symmetrie beschermde topologisch geordende fases bestaan die zich in dezelfde fase bevinden als het triviaal systeem als we alle soorten perturbaties toelaten. Dat houdt in dat we vlot kunnen interpoleren tussen een SPT fase en een volledig triviale fase zonder door een faseovergang te gaan. Zodra we echter een bepaalde symmetrie invoeren op de toegelaten paden, kunnen we niet interpoleren zonder door een faseovergang te gaan. We zien dat deze systemen zich in een andere fase bevinden dan het triviaal systeem. Mogelijke tools om deze systemen te classificeren zijn hun defecten of randkenmerken. Welbekende voorbeelden van SPT fases zijn de Haldane fase in bosonische 1D spin ketens en vrije fermionische topologische isolatoren. Onderzoek heeft uitgewezen dat met behulp van tensornetwerken de bosonische SPT systemen gemakkelijk begrepen en geclassificeerd kunnen worden. De rand- of defectkenmerken verschijnen als enkele eigenschappen van slechts één enkele lokale tensor. Daardoor wordt, gegeven een tensornetwerkbeschrijving van een kwantumtoestand, de SPT fase ervan gemakkelijk bepaald. Ten minste voor 1D spin systemen is een volledige classificatie van alle mogelijke fases gekend en wordt die gegeven door de verschillende SPT fases. In meerdere dimensies weet men al veel over SPT, maar men is nog niet tot een volledige classificatie gekomen. Merk op dat in hogere dimensies het verhaal van materiefases nog steeds veel ingewikkelder is dan juist de verschillende SPT fases.

Het meest bekende voorbeeld van een klasse van fases die niet kunnen worden onderscheiden door Landau’s symmetrieargumenten is het beroemde fractioneel kwantum Hall-effect. Verschillende fases in dergelijke systemen kunnen enkel worden onderscheiden door hun topologische kenmerken, of door uitgebreide operatoren te meten. In het geval van het fractioneel kwantum Hall effect wordt deze rol ingevuld door de gekwantiseerde Hall geleiding. Wanneer er echter geen lokale meeting is in de bulk van zo een systeem, kan er een onderscheid worden gemaakt tussen de verschillende fases. Verder vallen deze fases zelfs buiten het paradigma van SPT fases, omdat er geen symmetrie vereist is om ze te differentiëren van een triviaal systeem. Dergelijke systemen worden (intrinsiek) topologisch geordend genoemd. Sinds de ontdekking van het fractioneel kwantum Hall effect zijn er een overvloed aan andere voorbeelden van topologische fases voorgesteld, zowel fermionisch als bosonisch, en in uitzonderlijke gevallen zijn die ook gebruikt in experimenten. Al deze fases hebben een zeker aantal kenmerken gemeen, en de combinatie ervan (of een deelverzameling ervan) kwalificeert een systeem als topologisch geordend. Deze topologisch geordende systemen contrasteren met de normale topologisch triviale systemen, waarop (ten minste in de afwezigheid van symmetrieën) Landau’s classificatie principe van toepassing is. De kenmerken die het meest frequent geassocieerd worden met intrinsiek topologische geordende Hamiltonianen zijn de volgende. Er wordt verondersteld dat de Hamiltoniaan gapped is, dit is belangrijk voor de stabiliteit van de fase. Als we vervolgens het systeem op een variëteit plaatsen, bijvoorbeeld een torus, heeft de Hamiltoniaan een degeneratie voor de grondtoestand die enkel afhangt van de topologische kenmerken van de variëteit. Plaatselijk zijn deze toestanden niet van elkaar te onderscheiden, want er is geen ordeparameter. Verder zijn de elementaire excitaties van de Hamiltoniaan anyonen, speciale quasideeltjes met erg exotische statistieken. Anyonen bestaan enkel in twee ruimtelijke dimensies, ten minste als we willen dat ze deeltjes zijn en geen uitgebreide objecten. Om deze reden wordt de studie van topologisch geordende systemen het gemakkelijkst uitgevoerd in twee ruimtelijke dimensies.

Naast de eerder genoemde macroscopische kenmerken van topologische orde, bekijken we nu microscopisch de oorsprong ervan. Het eigentijds kader gebruikt om topologische orde te beschrijven wordt sterk beïnvloed door kwantuminformatietheorie. We zien nu dat het cruciale kenmerk van topologisch geordende toestanden het bestaan is van kwantumcorrelaties met een lang bereik, of verstrengeling. Het verband tussen topologische orde en kwantuminformatie bestaat uit twee belangrijke delen. Enerzijds zijn één van de interessantste aspecten van topologisch geordende toestanden juist de mogelijke toepassingen ervan in kwantuminformatietheorie. Het gebrek aan een ordeparameter houdt in dat zulke toestanden beschermd worden tegen lokale perturbaties. Gebouwd op topologisch niet-triviale variëteiten kan de ruimte van de grondtoestand worden gebruikt om meer kwantuminformatie op te slaan. Bovendien kunnen de exotische anyonische statistieken van de excitaties van quasi-deeltjes worden gebruikt om intrinsiek fouttolerante kwantumberekeningen uit te voeren. Anderzijds, maakt de verschijning van verstrengeling het moeilijk om zulke kwantumtoestanden te begrijpen met behulp van conventionele veel-deeltjes methoden als “gemiddelde veldentheorie”. Bovendien is het niet gemakkelijk om een efficiënte beschrijving te geven van sterk verstrengelde toestanden, omdat er gewoonlijk een exponentieel aantal parameters nodig is.

Gelukkig leveren tensornetwerken een efficiënte beschrijving, benaderend of exact, van verscheidene interessante klassen van topologisch geordende toestanden. We weten nu dat de bosonische topologisch geordende toestanden in 2D, waarvan men hoopt dat ze nuttig zijn voor kwantumberekeningen, erg efficiënt kunnen worden weergegeven door een bepaalde klasse van tensornetwerken, de Projected Entangled Pair States (PEPS). Een dergelijke weergave laat ons toe deze toestanden te beschrijven niet enkel op vaste punten, maar ook weg van deze geïdealiseerde situaties. Daarenboven, zodra de PEPS beschrijving van de grondtoestanden van een topologisch geordend systeem bepaald is, kunnen we deze tensoren gebruiken om alle elementaire topologische sectoren van het systeem te vinden, dat zijn de anyonen, en de fundamentele anyonische statistieken van het systeem te bepalen. Belangrijk is dat de PEPS beschrijving ons ook de mogelijkheid geeft om deze systemen numeriek te bestuderen, we kunnen bijvoorbeeld tensornetwerkmethoden gebruiken om faseovergangen en dispersierelaties vast te leggen. Het belangrijkste inzicht dat nodig is om dit allemaal te verwezenlijken is dat alle relevante informatie bevat zit in de symmetriekenmerken van een lokale tensor. Zoals altijd bestaat de echte kracht van tensornetwerkmethoden erin dat zelfs topologische kenmerken, die niet op te sporen zijn met lokale operatoren, gemakkelijk kunnen worden bepaald vertrekkende van de kenmerken van slechts één lokale tensor.

Op dit tijdspunt kunnen we zeggen dat we het fasediagram begrijpen van kwantummaterie in 1D. Deze wordt gegeven door de SPT systemen. In 2D weten we al veel over zowel de SPT systemen als de intrinsiek topologisch geordende systemen, en hoewel een volledig begrip ervan nog steeds buiten onze mogelijkheden ligt, wordt er elke dag vooruitgang geboekt. Er blijven echter nog twee belangrijke vragen onbeantwoord. Een van deze vragen is de wisselwerking tussen SPT en de intrinsiek topologische orde, de zogenoemde door symmetrie verrijkte topologische fases. Dit zorgt ervoor dat het fasediagram van de kwantummaterie er nog ingewikkelder uitziet, slechts voorbereidende stappen zijn in deze richting genomen. Hetzelfde is waar voor de tweede belangrijke onbeantwoorde vraag, het fasediagram in hogere dimensies. Er is niet veel geweten in 3D en erbuiten, maar het is duidelijk dat tensornetwerken een belangrijke rol kunnen spelen om deze systemen te begrijpen.

Een van de belangrijkste inzichten in de gecondenseerde materiefysica is dat de lage-energiekenmerken van een (kwantum) materie niet zo erg worden bepaald door de grondtoestand, maar eerder door de elementaire excitaties. In tegenstelling tot de grondtoestand, die eigen is aan een erg niet-triviale sterk gecorreleerde natuur, kunnen deze excitaties bovendien vaak worden beschreven op een eenvoudige manier. In de meeste gevallen kunnen ze worden voorgesteld als gelokaliseerde en zwak interagerende deeltjes met een niet-extensieve energie, die op deze sterk gecorreleerde achtergrondtoestand leven. In dit opzicht komt het begrijpen van de fysische kenmerken van grote kwantumsystemen – dynamische correlatiefuncties, faseovergangen, real-time evolutie, lage-temperatuursgedrag, enz. – neer op het vinden van de effectieve theorie die de dynamica van deze deeltjes beschrijft.

Omdat sterk gecorreleerde grondtoestanden ontoegankelijk blijven voor een nauwkeurige beschrijving, wordt deze effectieve theorie gewoonlijk gevonden op een perturbatieve manier. Het paradigmatisch voorbeeld is dat van de Fermi-vloeistoftheorie om interagerende electronen te beschrijven, waarbij de effectieve deeltjes eerst gedefinieerd worden op de niet-interagerende limiet. Het blijkt dat deze deeltjes het aanschakelen van de interacties overleven, ook al krijgen ze een eindige levensduur. De effectieve kenmerken van de “quasi-deeltjes” – effectieve massa en lading, levensduur, verstrooiingsprocessen, enz. – kunnen worden bepaald door middel van perturbatieve technieken die niet expliciet rekening houden met de achtergrondtoestand waarop ze leven (bijvoorbeeld de grondtoestand van het interagerend systeem).

In het kader van laag-dimensionale kwantumsystemen is deze situatie iets veranderd met het massaal gebruik van tensornetwerktoestanden als een variationele beschrijving voor sterk gecorreleerde grondtoestanden. Inderdaad, het verkrijgen van toegang tot een nauwkeurige grondtoestand golffunctie geeft ons de mogelijkheid om de effectieve deeltjes direct in het interagerend geval op te bouwen, zonder af te hangen van een triviale limiet. Het is echter niet duidelijk of deze deeltjes nog steeds een eenvoudige deeltjes-achtige beschrijving hebben. Dat zo een lokale beschrijving mogelijk blijft, is zorgvuldig bewezen voor het geval van gapped kwantum spin systemen, en dit resultaat lijkt niet-relativistisch analoog te zijn met soortgelijke resultaten in de axiomatische kwantumveldentheorie. Bovendien helpt de tensornetwerkstructuur van een grondtoestand golffunctie om het plaatselijk te modificeren en een eenvoudige variationele ansatz te creëren om “deeltjes” op te bouwen in een niet-triviale vacuümtoestand. Ondanks de eenvoudigheid ervan – verander één tensor in de tensornetwerktoestand en maak een superpositie van impulsen – is aangetoond dat deze ansatz de elementaire excitaties omvat met een nooit eerder voorgekomen precisie. Inderdaad, met deze variationele benadering worden de exacte eigentoestanden van de volledig interagerende Hamiltoniaan onmiddellijk berekend, zodat deze deeltjes een eindige levensduur hebben.

In één dimensie, waar matrix product toestanden een uiterst efficiënt middel leveren om lage-energiefysica te simuleren, heeft dit deeltjesbeeld van elementaire excitaties zich verder ontwikkeld tot de studie van de interacties tussen deeltjes. Meer welbepaald werd er aangetoond hoe twee-deeltjes eigentoestanden variationeel moesten worden berekend door het corresponderende verstrooiingsprobleem op te lossen en hoe de twee-deeltjes S matrix moest worden berekend. Daarnaast maakt de variationele uitdrukking voor de twee-deeltjes golffunctie het mogelijk om het lage-energie deel te berekenen van verschillende spectrale functies.

De twee-magnonen S matrix voor de spin-1/2 Heisenberg antiferromagnetische twee-benen ladder, afgebeeld zijn de verstrooiingsfases van de S matrix binnen de drie sectoren van de volledige spin.

Verschillende impulsschijven van de spectrale functie voor de spin-1/2 Heisenberg antiferromagnetische twee-benen ladder

Bovendien maakt volledige toegang tot de twee-deeltjes S matrix het mogelijk om een “benaderende Bethe ansatz” te construeren om de eindige dichtheid te beschrijven van deeltjes excitaties bovenop de MPS achtergrondtoestand. Deze benadering van een effectieve deeltjesbeschrijving neemt aan dat, bij kleine dichtheden, een gas bestaand uit effectieve deeltjes integreerbaar kan zijn (bv geen diffractie of drie-deeltjes verstrooiingsprocessen), zodat de Bethe ansatz golffunctie een goede beschrijving ervoor geeft. Er werd aangetoond dat bijvoorbeeld magnetisatie processen van SU(2) onveranderlijke spin ketens met deze benadering juist kunnen worden begrepen.

In twee dimensies is het formalisme van projected entangled pair states moeilijker om te berekenen. Door het invoeren van een nieuw contractieschema, is er recent aangetoond dat het mogelijk is om de noodzakelijke overlappingen te berekenen en om variationeel de excitatie spectra te bepalen van tweedimensionale kwantum spin systemen.

Het elementair excitatie spectrum van het tweedimensionaal AKLT model op het vierkante rooster

Referenties

J. Haegeman, B. Pirvu, D. J. Weir, J. I. Cirac, T. J. Osborne, H. Verschelde, and F. Verstraete, “Variational matrix product ansatz for dispersion relations,” PRB 85, 100408 (2012)
L. Vanderstraeten, J. Haegeman, T. J. Osborne, and F. Verstraete, “S-matrix from matrix product states,” PRL 112, 257202 (2014)
L. Vanderstraeten, J. Haegeman, and F. Verstraete, “Scattering particles in quantum spin chains,” ArXiv 1506.01008 (2015)
L. Vanderstraeten, F. Verstraete, and J. Haegeman, “Excitations and the tangent space of projected entangled-pair states,” ArXiv 1507.02151 (2015)

Bij gebruik van tensornetwerktoestanden als een numerieke tool is één van de eerste doelstellingen vaak om de beste grondtoestand benadering te vinden van een gegeven system (Hamiltoniaan) als een tensornetwerktoestand. Het variationeel principe schrijft voor dat een goede benadering kan worden verkregen door de energieverwachtingswaarde te minimaliseren over de verzameling van toestanden binnen een gegeven klasse (bijvoorbeeld de verzameling van tensornetwerken met een gespecificeerde netwerkstructuur en gegeven virtuele dimensies). Dit komt neer op het oplossen van een optimaliseringsprobleem over een verzameling van tensoren die een (typisch) vlakke subvariëteit coderen over de volledige Hilbertruimte.

Variationele optimalisatie op tensornetwerkvariëteiten.

In principe geeft de grondtoestand enkel toegang tot statische informatie (maar de codering ervan in een tensornetwerktoestand lijkt ook kwalitatieve informatie over dynamica te bevatten). Om de fysica van kwantum veel-deeltjes systemen volledig te begrijpen, willen we ook dynamische informatie verkrijgen, zoals de niet-evenwichtsevolutie en kwantum quenches, geëxciteerde toestanden en spectrale functies bij zowel de nultemperatuur als bij een eindige temperatuur. Het kader van tensornetwerken is voldoende veelzijdig om de meeste van deze situaties te modelleren en om een benaderende beschrijving te leveren van de relevante fysica. De beste benadering ervoor wordt meestal verkregen als de oplossing van een soort optimalisatieprobleem.

De ontwikkeling van nieuwe en verbeterde algoritmen om deze uitdagende optimalisatieproblemen op te lossen is een huidig onderzoeksonderwerp binnen onze groep. Terwijl al deze methoden vertrekken van een goede fysische intuïtie, is het nodig dat ze inzichten en ideeën uit verschillende gebieden combineren:

• optimalisatietheorie: kleinste-kwadratenmethodes, gradiëntmethodes, …
• lineaire algebra: matrix factorisaties, iteratieve lineaire oplossingsmethoden en eigenoplossingsmethoden, lage-rangsbenaderingen, …
• numerieke differentiële vergelijkingen: niet-lineaire GDVs en PDVs, impliciete schema’s, …
• differentiaalmeetkunde: raakruimten, verbindingen, krommingen, …
• computerarchitectuur: parallellisme, geheugen layout, …

Terwijl het geval van eendimensionale roostersystemen goed ingeburgerd is in de laatste 20+ jaar (vertrekkend van de ontwikkeling van de beroemde Dichtheidsmatrix Renormalisatiegroep van Steve White in 1992), zijn er zeker veel onbeantwoorde vragen en is er ruimte voor verbetering in het geval van hoger-dimensionale roostersystemen (gebruik makend van tensornetwerken zoals projected entangled-pair states of de meerschalige verstrengelings renormalisatie ansatz) of voor de continue formulering van tensornetwerktoestanden om kwantumveldentheorieën te bestuderen.

Sinds de revolutionaire ontdekking eind 1997 van de AdS/CFT correspondentie, is er een aanzienlijke hoeveelheid onderzoekswerk uitgegaan naar de verklaring van de vertakkingen en de verwikkelingen van het holografisch principe. De correspondentie legt de nadruk op een niet-triviale afbeelding tussen de fysica van een gravitatietheorie in de bulk van een ruimtetijdsvariëteit en een randkwantumveldentheorie die leeft op de rand. Hoewel ze oorspronkelijk voorgesteld werden in de context van de stringtheorie, hebben de concepten en inzichten zich op grote schaal verspreid door het volledige vakgebied van de fysica, wat heeft geleid tot nieuwe benaderingen en toepassingen in zowel de gecondenseerde materiefysica als de hoge-energiefysica. De holografie probeert een algemene beschrijving te geven van gravitatie en kwantumveldtheoretische vrijheidsgraden, en laat ons toe erg moeilijk oplosbare vragen aan de ene kant van de dualiteit om te zetten in redelijk eenvoudige berekeningen aan de andere kant, wat in vele gevallen een vruchtbare intuïtie verschaft over de fysica inherent aan beide kanten van de dualiteit. Vandaag, bijna twintig jaar later, is er geen gebrek aan overweldigende bewijzen voor de hypothese, maar er is nog een lange weg af te leggen om de innerlijke werking van de holografie te begrijpen.

Het is belangrijk om de alom aanwezige invloed te benadrukken van zwarte gaten zowel bij de initiële ontdekking van de AdS/CFT correspondentie als bij de latere ontwikkelingen ervan tot en met vandaag. Zwarte gaten zijn unieke objecten in de natuur omdat ze ons verplichten onze ideeën over gravitatie met elkaar in overeenkomst te brengen, wat geometrisch beschreven wordt door Einsteins algemene relativiteit, en het microscopisch gebied, waar onze denkwijze wordt bepaald door de kwantummechanica. Afgezien van technische moeilijkheden hebben pogingen om te komen tot een goede beschrijving van kwantumgravitatie te kampen met paradoxen en inconsistenties, en dat verplicht ons ertoe om elke stille veronderstelling uit de vertrouwde fysica grondig te evalueren. Als we de zwarte gaten thermodynamica serieus nemen, is het in de voorbije tien jaar aangetoond dat de verstrengelingsentropie in holografische systemen geometrische kenmerken codeert van de bulk geometrie, en dat leidt op zijn beurt tot een groeiende interesse in het verband tussen ruimtetijd en verstrengeling.

Aangezien verstrengelingsentropie meet hoe kwantuminformatie georganiseerd wordt in een kwantumtoestand, en dus een uiterst ingewikkelde hoeveelheid is om te berekenen in algemene kwantumveldentheorieën, wijst louter het feit dat de berekening ervan zoveel eenvoudiger wordt in holografische conforme veldentheorieën, en zelfs geometrisch wordt, op een sterke eigenschap van sterk-gekoppelde systemen. Vanuit dit niet-perturbatief standpunt lijkt veel informatie in een kwantumtoestand overbodig te zijn, en daardoor geschikt om te worden beschreven in termen van juist ontworpen tensornetwerken, die een intrinsiek niet-perturbatieve beschrijving leveren van kwantum veel-deeltjes systemen. Recent onderzoek levert al een verfijnd voorstel op voor ruimtetijd verstrengeling dat duidelijk verschillend kan zijn van het normaal, perturbatief gezichtspunt, en interessante verbanden voorstelt met kwantum foutverbeterende codes.

Tensornetwerken zouden dus kunnen dienen als een veelbelovend middel om belangrijke open vragen in de holografie te beantwoorden. Welke kwantumtoestanden hebben goede geometrische duale toestanden? In welke mate wordt deze geometrie bepaald door informatietheoretische en entropische kwantiteiten van (conforme) veldentheorieën? Welke informatie over de toestand is echt noodzakelijk voor de niet-perturbatieve beschrijving ervan? Bestaat er een holografische interpretatie van de renormalisatiegroep in termen van een informatietheoretisch coarse-graining schema? Wat is de betekenis van gebieden in de ruimtetijd en het verband met de zwarte gaten entropie? Omdat tensornetwerken altijd verwant blijven met getallen, leveren ze een ideale speelplaats voor de analytische en numerieke studie van toy models van holografische theorieën, waardoor nog nauwere verbanden worden gecreëerd tussen kwantuminformatie en zwarte gaten fysica.